Axel Kober studierte an der Hochschule für Musik Würzburg bei Peter Falk und Günther Wich und kam 1994 zunächst an das Staatstheater Schwerin. Von 1998 bis 2003 arbeitete er am Theater Dortmund, zuletzt als Erster Kapellmeister und Stellvertreter des GMD. 2003 wechselte Axel Kober an das Nationaltheater Mannheim, wo er 2005/06 zum stellvertretenden
GMD und ein Jahr später zum kommissarischen GMD ernannt wurde. Dort dirigierte er Bergs „Wozzeck“, Mozarts „Le nozze di Figaro“, Wagners „Tristan und Isolde“, „Lohengrin“, „Tannhäuser“, „Parsifal“ und den „Ring des Nibelungen“ sowie Strauss’ „Ariadne auf Naxos“ und viele andere Werke. Von 2007 bis 2009 war Kober Musikdirektor der Oper Leipzig und leitete mit Riccardo Chailly musikalisch die Oper. Dort eröffnete er das renovierte Haus mit der Neueinstudierung von Wagners „Rienzi“. Außerdem leitete er die Premieren einer Schönberg-Trilogie, eines Strawinsky-Ballettabends und zahlreiche Wiederaufnahmen. Sein Debüt beim Gewandhausorchester gab er im Januar 2007, was zu jährlichen Folgeeinladungen führte. Mit Gastspielen kam Kober auch an die Königliche Oper in Kopenhagen, das Staatstheater Nürnberg, die Volksoper Wien, zum Philharmonischen Orchester Halle und zum NDR Sinfonieorchester Hamburg. Sein Debüt an der Deutschen Oper Berlin
gab er mit Richard Strauss’ „Die Frau ohne Schatten“ Anfang Dezember 2009. An der Hamburgischen Staatsoper dirigierte er unlängst Arnold Schönbergs Monodram „Erwartung“ mit Deborah Polaski. Seit 2009/10 ist Axel Kober Generalmusikdirektor der Deutschen Oper am Rhein Düsseldorf Duisburg. Unter seiner Leitung standen die Eröffnungspremieren mit Benjamin Brittens „Peter Grimes“, Franz Lehárs „Die lustige Witwe“, Gustave Charpentiers „Louise“, der Ballettabend „b.03“ zu Musik von Peter I. Tschaikowsky, Philip Glass und
Felix Mendelssohn Bartholdy sowie die zeitgenössische Oper „Das Gesicht im Spiegel“ und Richard Wagners „Tristan und Isolde“.